mathesis da scritti di Luigi Campedelli

CONVERSAZIONI SULLA DIDATTICA DELLA MATEMATICA
 di Maria Giuditta Campedelli

"La difficoltà della matematica non è in se stessa, ma nel modo in cui viene insegnata; la
leggenda antica che per apprenderla occorra predisposizione naturale nasce dal fatto che 
sono trascurate le basi del suo insegnamento; ... esso richiede scienza e arte, sapere e saper fare"
Y. H. Herbart (1776-1841)

Siamo, e tutti lo sanno, in un momento di transizione verso una nuova struttura del nostro
edificio scolastico, rivisto e modificato e in ogni ambito disciplinare si sta portando avanti un
vivissimo dibattito su competenze e nuclei fondanti. 
Non è di questi temi che intendiamo discutere; vogliamo piuttosto riflettere su quei principi di 
base nella didattica, e in particolare in quella della matematica, che sono irrinunciabili; non
possono quindi essere disattesi e sopravvivono a qualunque riordino e mutamento. Ci
soffermiamo su tali temi rivolgendoci a chi lavora nella scuola da tempo per rinfrescarne la
memoria, a chi è entrato nell'ambiente da poco e soprattutto a coloro che, di laurea recente, si
accingono ad affrontare il difficile e affascinante compito di insegnare. 
Le idee che esporremo provengono da studio, riflessioni, pratica sul campo. Alcune osservazioni,
delle indicazioni, certe proposte sono il frutto di una lunga consuetudine di lavoro portata avanti
all'interno e con la collaborazione del Nucleo Ricerche Didattiche, che opera presso il
Dipartimento di Matematica "U. Dini" dell'Università di Firenze. Molte considerazioni sono
riprese, perché totalmente condivisibili, condivise ed ancora del tutto attuali, da scritti di Luigi
Campedelli, e ne riportano in forma sintetica alcuni aspetti del pensiero sulla scuola e i suoi
problemi [1]. A partire dagli anni cinquanta, per un quarto di secolo circa, Egli è stato uno degli
studiosi di "Didattica della matematica" più attivi a livello europeo. 

La matematica e la scuola 
E' ben noto che nelle scuole s'insegnano diverse materie, non certo con lo scopo di fare
degli specialisti. Tutte quelle discipline, ciascuna per le proprie caratteristiche, e nel loro insieme
per le reciproche integrazioni, contribuiscono a sviluppare in modo compiuto la personalità
dell'allievo. Così la preparazione letteraria non vuole necessariamente creare degli scrittori o dei
linguisti; la filosofia non è destinata a generare dei novelli filosofi, la storia degli storici, la
matematica dei matematici, la fisica dei fisici; ecc .. 
Solamente la lingua materna e la matematica sono argomento di studio in ogni parte del mondo, in
ogni istituto scolastico di qualsiasi tipologia; costituiscono infatti entrambe il veicolo che consente
di inserirsi nella tradizione culturale dei diversi popoli e la loro conoscenza è uno fra gli elementi
di maggior valore sociale. Hanno la peculiarità di poter adeguare i propri contenuti a ciascun
livello scolastico, poiché sanno rispondere alle esigenze di tutte le età. 
La matematica risente talora di qualche "moda" scientifica che ne porta a privilegiare l'uno o
l'altro capitolo; progredisce però nel suo cammino non legata ad alcuna ideologia politica e si
mantiene al di sopra di ogni mutare di costumi. 
Appartiene nello stesso momento al campo umanistico e a quello scientifico. Nasce infatti,
costruzione di puro pensiero come la poesia, la musica ed ogni altra forma d'arte, dal desiderio di
trovare un' interpretazione per la realtà, che dunque suggerisce alla mente attività matematiche per
rappresentarla. Così una collezione (o mucchio, o insieme) di oggetti distinti ha portato, all'inizio
della civiltà, a grandezze discrete, cioè i numeri; il filo teso, la superficie di un lago hanno fatto
pensare a grandezze continue, e dunque hanno suggerito i primi passi alla geometria. La nostra
scienza ritorna poi alla realtà attraverso le molteplici applicazioni, per allontanarsene ancora,
presa da nuove indagini teoriche. 
E' per tali motivi che si può parlare di due suoi aspetti, quello speculativo e l'applicativo, che
s'intrecciano continuamente, essendo motivo di reciproco progresso. 
La visione della matematica scolastica troverà un giusto equilibrio fra le due facce. 
Si deve tenere presente che la speculazione matematica è elemento intrinseco ed essenziale alla
formazione umana, non meno di alcun altro tipo di studio; fornisce un mezzo insostituibile per un
completo sviluppo della mente, con effetti sulle caratteristiche della personalità, dal momento che
crea nell'individuo capacità di riflessione, di equilibrio, di obiettività di giudizio. 
Per questo riteniamo si debba realizzare un insegnamento in cui, ovviamente avendo presenti l'età
dei discenti e l'indirizzo da loro scelto, si riesca a far comprendere a grandi linee l'essenza del
modo di procedere del pensiero matematico, ossia che i vari capitoli sono costruiti basandosi su
premesse (assiomi) da cui, con metodo deduttivo, si traggono asserti che sono validi poiché
conseguenze logiche degli assiomi scelti, fra loro indipendenti e non contraddittori. Insomma la
matematica è una scienza ipotetico-deduttiva, secondo la felice dizione di Mario Pieri (1860-1917).
Si guidino poi i giovani a riconoscere analogie in ambiti diversi, in modo da dare loro l'opportuna
visione unitaria. Sarà anche un mezzo per affiancare e completare (e nei casi più gravi sostituire) il
valore formativo delle discipline umanistiche, le capacità d'indagine e di analisi critica che esse
creano, il fascino della cultura che esaltano, e la cui attrazione va oggi sempre più diminuendo.
L'aspetto applicativo della matematica è comunemente noto, poiché ha senza dubbio applicazioni
vistose. Gli strumenti di cui dispone la nostra disciplina hanno consentito in passato, e consentono
ora, di giustificare razionalmente scoperte proprie di altri campi scientifici, e danno impulso a
nuovi progressi. Vi sono riflessioni matematiche che accettano, oltre il normale processo deduttivo,
anche quello induttivo e intervengono così in ricerche e valutazioni di carattere sociale, facendo
preventivi e consuntivi. 
Nessuno ignora che l'informatica deve il suo stesso esistere e il suo, progredire alla matematica; le
medesime situazioni si ripropongono per la tecnologia, che evolve in modo travolgente e che per
sua natura è fredda e impersonale, così da sembrare quasi non conservare in sé tracce di apporti
umani. 
La matematica dispone di linguaggio e simbolismo propri, atti ad esprimere relazioni e ad illustrare
circostanze in maniera sintetica. Gli sviluppi algoritmici, anche i più ingegnosi, pur se parte
integrante, non ne costituiscono certamente il carattere predominante; molti lo credono e tale
equivoco sorge dal fatto che sono condizionati da studi pregressi, avendo ricevuto un' istruzione in
cui ha prevalso, ed è nefasto, l'uso delle formule e della sfilza di regole da apprendere a memoria.
Ciò ha formato un bagaglio pesante e dannoso, che può aver spento sul nascere qualunque
interesse. Bisogna insomma, attraverso un oculato insegnamento di questa nostra scienza, esaltarne
i valori che producono arricchimento di umanità, comprensione del mondo intorno a noi, e portano
ad usare tecnica e tecnologie con consapevolezza. 

Laurea in matematica e insegnamento 
Richiamiamo ancora una volta l'attenzione del lettore sul fatto che non vogliamo inserirci
nel dibattito attuale sulla ristrutturazione dell'ordinamento scolastico e sulle riflessioni circa i
contenuti disciplinari a la loro gestione per dare ai giovani competenze di carattere generale, oltre
che specifiche. Intendiamo invece ricordare circostanze e valori che sussistono al di là del
momento contingente, e lo travalicano. 
Il laureato in matematica che si dedica all'insegnamento si trova a dover affrontare un
aggiornamento costante [2]. Questo presenta due volti: significa infatti ripensare i temi trattati e
acquisiti nel corso degli studi universitari nell'ottica della loro gestione in classe e inoltre
mantenersi al corrente delle innovazioni di tipo culturale e didattico che subentrano continuamente
nell'ambito disciplinare che lo riguarda. 
Relativamente alla prima questione, è certo che le cognizioni di matematiche superiori sono
necessarie al docente per presentare quelle elementari [3], ma deve molto studiare per individuare le
metodologie da seguire nel proprio lavoro. E' - diciamo - un'ingenuità il far conto di ripetere quelle
dei propri insegnanti secondari, per quanto valide fossero, dal momento che gli argomenti e il
linguaggio parzialmente rinnovati e il contesto certamente diverso hanno esigenze differenti. 
La lezione va scrupolosamente preparata, sia per quanto riguarda il capitolo in studio, certamenteda 
rinfrescare e talora arricchire o magari ridimensionare, sia per il percorso didattico sicuramente
un po' da modificare, perché va sempre adeguato all'ambiente, le cui caratteristiche mutano di anno
in anno. Vi sono infatti problematiche legate alla situazione contingente, che il professore deve di
volta in volta affrontare e risolvere in prima persona. 
Una delle attrattive del mestiere consiste nel fatto che, per chi s'impegna con serietà niente è meno
standardizzato e la routine è inesistente. Colui che non tiene conto di tali fattori, o non vuol vedere
questi aspetti del lavoro nella scuola, è bene non faccia l'insegnante e si cerchi qualche altro tipo di
attività. 
Consideriamo ora l'altra faccia dell'aggiornamento, quella che risponde alla definizione "tenersi al
corrente per quanto riguarda la propria preparazione professionale e culturale" (Devoto-Oli,
Dizionario della lingua italiana) e comporta "rinnovamento e revisione in rapporto col progresso
dei tempi" (Battaglia, Grande dizionario della lingua italiana). 
Anche se si può far conto su un aggiornamento organizzato a livello istituzionale, essendo
riconosciuto quale diritto-dovere (art.282 del T.u. n.297/1994) di chi lavora nella scuola, è bene
sapere che il professore si deve soprattutto organizzare in proprio, programmando si cioè quello
che si può chiamare "autoaggiornamento", da portare avanti quotidianamente. Talora si rivela utile
la creazione di un gruppo di lavoro insieme con colleghi, se si preferisce non procedere da soli: in
ogni caso occorre mantenersi al corrente per realizzare in classe un' opera produttiva e vitale, non
fiacca, monotona, poco significativa, superata dall'evolversi della vita intorno. 
Chi insegna cercherà di frequentare le biblioteche e in particolare, se è possibile, quelle presso le
sedi universitarie, dove potrà trovare testi e riviste di didattica, che è necessario conosca e legga
attentamente perché non di rado vi sono spunti cui prestare attenzione e sui quali discutere con se
stessi e con altri. Le riviste sulla scuola e i suoi problemi offrono interesse anche quando non si
occupano esclusivamente di matematica; la lettura di scritti su problematiche culturali e didattiche
relative ad altre discipline costituisce un' ottima occasione per ampliare i propri orizzonti. A ciò
potranno inoltre contribuire le vaste bibliografie ben aggiornate di cui solitamente tali
pubblicazioni dispongono. 
E' molto importante avere notizia sia di quanto si va studiando e proponendo come metodologie
d'approccio e di gestione di temi, sia dei nuovi sussidi informatici che bisogna valutare con
attenzione, senza fervori avventati né diffidenze eccessive. 
Da qualche tempo vengono pubblicati, quasi sotto forma di romanzo, libri di storia della scienza, e
in particolare della matematica, e opere di divulgazione; fanno seguito, in forma letteraria diversa e
forse tutto sommato più rispondente al gusto del lettore d'oggi, a testi molto belli e noti di alcune
decine di anni fa. Si trova notizia di tali nuovi volumi, oltre che ovviamente in libreria, anche in
alcune delle più attente riviste di didattica e talora persino su quotidiani e settimanali. Si tratta di
scritti che hanno lo scopo di soddisfare curiosità per lo più sollecitate dai media, che anche in
questo campo hanno il potere di indirizzare l'opinione pubblica; debbono ovviamente interessare i
docenti che li discuteranno insieme con i loro allievi, per instradarne il gusto e le capacità critiche.
L'aggiornamento è quindi elemento intrinseco della vita dell'uomo di scuola: richiede molto tempo
e un serio impegno, non ha senza vincoli imposti e comporta responsabilità individuale. Costituisce
uno stimolo a continuare, o ritornare, a studiare: è piacevole muoversi in mezzo ai libri e sapersene
valere per far loro dire quanto interessa. E' poi anche l'occasione per riflettere con una maggiore
maturità su temi già acquisiti e per ampliare la propria cultura. Concorre a realizzare un buon
lavoro in classe e ciò - è noto - ricompensa e gratifica. 

I libri di testo 
Occorre che gli insegnanti abituino gli allievi ad avere confidenza con i libri. Il testo di
matematica, strumento di lavoro indispensabile, deve essere un volume come un altro: scritto
bene, chiaro, piacevole a leggersi, un amico di chi lo tiene fra le mani, che si vuole conservare il
più a lungo possibile; anche se il giovane lo frequenterà per un tempo relativamente breve, resterà
a sua disposizione, familiare e accessibile, per ricordare cose magari sfuggite dalla memoria. 
Sarebbe bene che la prima lettura avvenisse in classe; vi si ritroverà, almeno parzialmente, quanto è
già stato spiegato. Il docente evidenzierà l'auspicabile precisione nel linguaggio con cui sono
presentati i concetti, e così saranno nuovamente discussi e puntualizzati. Magari si faranno
osservazioni critiche. 
Non condividiamo l'abitudine propria di parecchi professori di mettere nelle mani dei ragazzi
appunti scritti delle proprie lezioni. Si sminuisce in tal modo l'importanza di imparare ad orientarsi
sui libri, di sentire una voce diversa per proposte che sostanzialmente sono le medesime. Poiché
un'opera scientifica ben impostata non indulge in parole inutili, né eccede nella sintesi, educa anche
ad esprimersi sia oralmente che per scritto. 
Viene il momento, per chi lavora nella scuola, di dover procedere alla scelta del testo [4], può darsi
per il desiderio di disporre di un supporto didattico più aggiornato, o per la necessità di sostituire
opere per vari motivi non soddisfacenti. Solitamente ciò accade dopo una routine faticosa di
supplenze che ha dato luogo a incontri con ambienti dalle diverse caratteristiche e quindi ha fatto
conoscere volumi di vario genere già selezionati da altri, che ben difficilmente rispondono alle
proprie inclinazioni e idee. 
Affrontando il problema, colui che insegna si trova di fronte a un compito molto delicato e per il
quale non ha mai avuto una preparazione specifica; dovrà basarsi sulla sensibilità soggettiva,
tenendo presenti le esigenze culturali e la recettività dell'ambiente in cui si trova ad operare. I libri
sui quali ha a suo tempo studiato sono per molti riguardi certamente obsoleti e non costituiranno
altro che un suo possibile riferimento personale. 
Non è gli è facile, nella vasta pubblicistica e sottoposto ad incalzanti inviti pubblicitari, scoprire e
selezionare ciò che cerca; occorre sappia stabilire confronti e trovare pregi e difetti, spesso
dovendosi contentare di scegliere non ciò che soddisfa, ma quanto è meno sgradevole. A questo
portano motivi contingenti, quali l'uniformità di adozione fra le varie sezioni o altre tradizioni
ambientali consolidate; e non è affatto giusto. 
E' ovvio che non si possono indicare criteri generali, validi per ogni docente ed ogni scuola;
tuttavia vi sono fattori dall'esame dei quali non è consentito prescindere. 
Si comincerà dagli indicatori editoriali: il nome, o i nomi, degli autori; se sono accompagnati da
fama pregressa, o dalle loro qualifiche professionali, ci si potrà accostare già con una qualche
fiducia, o magari con remore non di poco conto. Importante è sapere l'anno di edizione e se si tratta
di prima uscita, o revisioni successive: il giudizio che se ne può trarre è variegato. Una prima
edizione, con il sapore della novità, si presenta certamente attuale nei contenuti, pur se più
facilmente suscettibile di contenere sviste o, ancor peggio, errori, che in una ristampa quasi
certamente non si trovano. Se è una riedizione successiva ad una prima molto anteriore,
probabilmente l'opera, pur avendo avuto in origine molti pregi, è ora in parte superata. Rifacimenti
e ammodernamenti di "classici" sono quasi sempre un vero tradimento delle intenzioni del
primitivo autore. Non è elemento da trascurare la veste grafica che, se snella e accattivante ma non
bamboleggiante, favorisce lo studio; hanno inoltre importanza il prezzo e il peso. 
Per quanto si riferisce alla struttura dell'opera che spesso, ed è un fattore positivo, è accompagnata
da una guida per l'insegnante, è opportuno rilevare se l'impostazione è rigorosamente in verticale
(circostanza didatticamente discutibile) o se è consentita, e suggerita, una lettura parzialmente
trasversale; se sono presenti idee opportune quali sono le note introduttive circa i prerequisiti, i
successivi contenuti, e gli obiettivi; se vi sono, valido sussidio, dei quadri che evidenziano i
risultati più significativi. Le letture a carattere storico e interdisciplinare sono indispensabili così
come gli esercizi, che occorre osservare dove e in qual modo siano distribuiti. Un indice analitico
è molto utile: i ragazzi debbono imparare ad usarlo. La citazione di riferimenti bibliografici è un
altro motivo di notevole valenza educativa. Né è da sottovalutare l'impatto istruttivo di una forma
linguistica accurata ed elegante. 
E' superfluo dire della necessità che il piano di lavoro alla base del libro deve apparire evidente nel
razionale ordinamento del susseguirsi delle pagine ed essere organico e condiviso da chi adotterà
l'opera; questa dovrà costituire inoltre una guida inequivocabile e sicura per l'utente, con un
linguaggio in cui il malinteso senso del rigore [3] non si trasformerà, come non di rado avviene, in
mancanza di chiarezza. 
Riteniamo importante che gli argomenti non siano trattati in modo autonomo e siano invece
evidenziati legami e analogie. Così si osserveranno, tenendo ovviamente ben presenti i destinatari,la 
loro età e il loro livello culturale, se sono poste in luce le correlazioni fra operazioni
insiemistiche, numeriche e logiche; fra geometria ed algebra; fra probabilità, teoria degli insiemi e
logica; fra matematica e altre discipline scientifiche e altri ambiti culturali; fra strumenti
informatici, risoluzione di problemi e gestione di particolari temi sia nell'ambito della geometria
che in altri campi di studio. Non si dovrà prescindere da riflessioni sullo sviluppo storico delle idee
e, qualora la maturità degli studenti lo consenta, si dovrà tenere conto dell'esigenza di presentare
considerazioni conclusive sulla struttura logica della matematica, ossia su quello che abbiamo
indicato come l'aspetto speculativo della disciplina. 
In una materia quale la nostra hanno enorme peso gli esercizi, che l'autore, o gli autori, avranno
scelto e proposto in modo da farli risultare il più possibile motivati, e quindi interessanti, ben
graduati e costruttivi, non monotoni e ripetitivi. Alcuni guidati per aiutare nel primo impatto, altri
di approfondimento, per chi ha già conquistato il necessario sapere; sempre con il risultato, che
gratifica l'utente capace e sollecita a ripensare la situazione chi è più incerto. 
Un'idea abbastanza originale, e forse non sufficientemente recepita dagli autori, è quella di invitare
gli allievi ad una "caccia all'errore": si tratta di riconoscere quali sbagli siano stati commessi (il loro
numero viene indicato a priori) nello svolgimento dell'esercizio proposto e di cui è indicato il
procedimento risolutivo che contiene dunque inesattezze concettuali o magari soltanto di calcolo.
Ne seguono osservazioni che si rivelano efficaci e costruttive. 
La validità degli esercizi è dunque da esaminare attentamente, quando si debba dare la preferenza
ad un testo scolastico. 
Alcuni libri privilegiano l'approccio per problemi, e possono dunque essere adottati solo da chi lo
condivida, altrimenti il disagio cui va incontro è notevolissimo. 
Per concludere, il docente che ha a disposizione varie opere fra cui individuare quella ottimale, per
essere certo di non trascurare elementi di valutazione mentre procede nella lettura, sarà bene tenga
vicino un foglio dove avrà preparato uno schema nel quale avrà indicato gli elementi su cui fissare
l'attenzione, distinguendo i requisiti irrinunciabili e quelli meno significativi. 

Un decalogo per l'insegnante di matematica Quando l'insegnamento di una qualsiasi materia, cioè "l'esposizione e la spiegazione perchéaltri apprenda" (Zingarelli "Dizionario della lingua italiana") può essere, a buon diritto, qualificato"valido"?
Nel 1955 il matematico spagnolo Pedro Puig Adam ha proposto un (che forse si potrebbeaddirittura dire "il") "Decalogo dell'insegnante di matematica", i cui primi cinque comandamenti, evolendo anche l'ultimo, possono essere riferiti agli impegni in classe del docente di qualunquemateria. Tale decalogo, che si presenta in forma compiuta, organica e simpatica ed è ancora oggiattualissimo, sintetizza in brevi dettami quelle che sono le indicazioni che emergono da studi dididattica molto seri e che certamente non si possono qualificare datati. Va dunque letto e meditatocon molta attenzione ed anche, ovviamente, messo in pratica. Abbiamo fatto qualche piccoloadattamento che non ne tradisce lo spirito ma anzi lo esalta e siamo certi che il lettore ne osserveràla modernità e rileverà come costituisca uno stimolo ad una valida riflessione, e una guida. 
I. Non seguire rigidamente un unico criterio didattico. Osservare di continuo gli allievi, eduniformarsi alle loro esigenze. Quando si prepara la lezione e si imposta la trattazione di un tema pensando a come si svolgerà inclasse, si deve prevedere la possibilità di modificare il piano di lavoro, pronti e sensibili a recepirele reazioni degli utenti; ci si saprà adeguare alle loro richieste, disponibili e disposti ad ascoltare leloro sollecitazioni. Gli argomenti dunque verranno organizzati non secondo uno schema rigidoprecostituito, ma adattati alla situazione contingente; si terrà presente che le curiosità degli allievisono continuamente influenzate dall'esterno. La scuola deve saperlo, procedere nel propriocammino attenta alla realtà intorno e non può succedere, anche se qualcuno potrebbe ritenerlamigliore e più comoda soluzione, il contrario. 
II. Insegnare guidando le attività creatrici degli allievi e il loro spirito di scoperta, suscitandoun interesse diretto e funzionale per l'oggetto che è argomento di studio. I ragazzi hanno, per lo più, doti di fantasia e spirito d'iniziativa: le une e l'altro, anche se nonevidenti, possono essere sollecitati e risvegliati. Saranno molto utili per aiutare nel cammino dellamatematica; l'interesse e l'entusiasmo nascono se si procede, sia pure guidati, da soli, non se si ècostretti a subire tutto dal di fuori, come un qualcosa di pesantemente perfetto che si deve accettaresenza discutere. E' allora fondamentale l'insegnante abbia un continuo scambio di opinioni con glialunni e del resto egli stesso può ricavare interessanti suggerimenti dalle loro idee, spesso piene dibuon senso. E' ovvio che non è consentito lasciare che sbriglino liberamente l'immaginazione, male iniziative personali devono essere indirizzate verso la meta. prefissata nell'ambito del piano di .lavoro. 
III. Stimolare negli allievi, per quanto è possibile, la capacità di autocritica e la facoltà diauto-correzione. La mancanza di autocritica costituisce un fattore negativo in ogni aspetto della vita, né è facileincontrare chi, riconosciuto l'errore, abbia volontà di emendarlo e capacità di farlo. Fra i compitidel docente vi è quello di abituare gli allievi ad esaminare i propri risultati scolastici, perriconoscerne la validità o i limiti; occorre poi che, riflettendo, sappiano correggersi. Chi nelleproprie classi è riuscito a realizzare, almeno parzialmente, tali obbiettivi, ha saputo dare ai giovanie giovanissimi che gli sono affidati uno strumento di vita molto ricco, quale è quello di imparare agiudicare con la propria testa, e quindi a saper valutare se stessi e gli altri. 
IV. Cercare di gratificare ogni allievo con qualche successo personale. . Ogni momento della vita è vissuto con migliore disponibilità e maggiore impegno se offre qualchegratificazione. L'insegnante sentirà il dovere morale di stimolare gli allievi evidenziandone isuccessi personali e di creare delle situazioni atte a valorizzare le capacità di ciascuno. Tutto ciòrichiede, ovviamente, molto tatto e sensibilità. E' questo certamente un modo di procedere cheincoraggerà allo studio anche chi lo affronta con notevole fatica, e potrà far superare loscoraggiamento, fattore del tutto negativo. Si debbono insomma evitare clamorosi insuccessiscolastici. 
V. Non insegnare in modo impersonale limitandosi a trasmettere cultura. Il docente evidenzi gli argomenti più significativi; non si limiti a questo, indichi ai suoi allievi,nello svolgere la lezione, le proprie preferenze nell'ambito disciplinare e il perché di esse. Igiovani hanno bisogno di umanità, e niente ne è privo come un individuo che non manifestiemozioni mentre illustra, o cerca di illustrare, l'altrui pensiero. Chi limita la propria opera e il proprio intervento in classe ad una "trasmissione di cultura", quasisi trattasse di travasare nozioni in altri contenitori, viene meno ai suoi compiti. Egli deve avere ecomunicare entusiasmo, fornire un metodo di studio, che consenta ai giovani non soltanto diacquisire competenze ai fini scolastici, ma di soddisfare quelle curiosità, quegli interessi e stimolidi carattere culturale che sarà riuscito a suscitare in loro e gli altri, che provengono dall'esterno. Nelle secondarie attuali, e sempre di più in quelle del futuro, si tende a creare l'abito mentale versouna visione globale del sapere (si pensi alla terza prova dell'esame di stato conclusivo): si devequindi lavorare non strettamente per ambito disciplinare, ma portare avanti un tipo di studio in cuiavranno grande valenza l'interscambio fra le varie culture e l'opera svolta in équipe. 
VI. Avere sempre presenti le tracce dell'evoluzione della matematica. Questo invito evidenzia la necessità che il docente conosca la storia della matematica, che permettedi presentare la nostra scienza non solo nel suo aspetto statico, ma in quello dinamico [2],trasmettendo una viva e appassionata visione dei processi creativi e costruttivi. Non solo: ladatazione di scoperte che costituiscono tappe fondamentali e che porta a situarle nell'ambito socio­politico-culturale in cui hanno avuto luogo, contribuisce ad aprire le menti e gli orizzonti deigiovani. Ciò ovviamente non significa seguire in classe il percorso storico, ma realizzare unintelligente equilibrio tra l'argomento matematico e il posto che occupa nello svolgersi delladisciplina. Possono aiutare a percorrere un tale iter problemi ed esercizi letti in lavori di studiosidel passato. Si vedano in bibliografia, quali esempi, i [5] , [6], [7], [8]. 
VII. Non dimenticare che la matematica trae origine dalla realtà concreta e graduareaccuratamente il successivo procedere verso la pura astrazione. Al di là del fatto, scontato, che qualunque sia il livello scolastico i contenuti debbono essere precisie in nessun caso approssimati, senza ombra di equivoco culturalmente parlando (che se il docente,per distrazione o altro, commette errori, deve avere assolutamente il coraggio di avvertirne gliallievi), i temi proposti, gestiti in modo da coinvolgere i ragazzi, saranno appropriati per la loro età.Vi è il momento in cui è indispensabile il riferimento concreto, che del resto non verrà maicompletamente disatteso; l'approccio all'astrazione sarà accuratamente strutturato in passaggisuccessivi, avendo sempre presente se vi sia la necessaria maturità per recepire i concetti. Il bamboleggiare con nozioni ed esempi infantili, il mancato rispetto della indispensabile gradualitànella presentazione degli argomenti e l'anticipare idee astratte quando non vi siano ancora lecondizioni per capirle costituiscono errori nel campo della didattica. Il primo atteggiamento porta asituazioni d'insofferenza, dal momento che non c'è chi abbia interesse quando si tratta di perdere iltempo su questioni che si presentano banali. Gli altri hanno conseguenze più pesanti; allontananodallo studio e alienano le simpatie verso la materia, poiché a nessuno piace fare una faticainfruttuosa di cui non comprende le finalità. 
VIII. Non distruggere l'unità della matematica ed evidenziare i suoi rapporti con il mondofisico e sociale. Il senso di queste indicazioni è evidente: occorre che la visione scolastica della matematica netenga in considerazione sia l'aspetto speculativo, cercando di chiarire la struttura logica dei varicapitoli che la costituiscono ed esaltandone in particolare le analogie di struttura quale elementounificante, sia quello applicativo, in tutti i suoi significati. 
IX. Aspettare che gli allievi abbiano raggiunto un 'adeguata sicurezza nella risoluzione deiproblemi prima di indicare loro l'uso dei procedimenti formali meccanici. Il problema, scelto in modo da apparire interessante agli occhi del giovane studente, puòappassionarlo alla matematica fornendogli motivazioni; gli insegna a "leggere", dato che perrisolverlo si devono individuare ed esaminare attentamente le richieste, distinguere e precisare idati, stabilire le strategie. Dunque ne promuove e coltiva le doti di ragionamento. Il meccanicismo formale introdotto intempestivamente rende inefficace, se non addiritturanegativo, uno degli strumenti didattici di maggior presa sugli allievi, mortificandone la fantasia, lospirito d'iniziativa, le doti di riflessione. E' pur vero che vi sono metodi standard per rispondere adomande standard, ma se ne potrà accettare l'uso quando i ragazzi avranno del tutto recepito ilprocedimento risolutivo; tuttavia si rende necessario verificare abbastanza di frequente chel'automaticità di certi iter non abbia soffocato la memoria dei ragionamenti che ne giustificanol'esistenza. 
X. Curare che gli allievi si esprimano in modo da tradurre fedelmente il proprio pensiero. Questa indicazione coinvolge ovviamente qualunque disciplina: in riferimento alla matematica, neriguarda i due momenti tradizionali nella vita di scuola: quello dell'esposizione orale e l'altro, dellaprova scritta. La prima è usualmente guidata dal docente, che cerca di ottenere che il tema oggettodi studio. venga presentato dall'alunno seguendo un rigoroso ordine logico e con un appropriatolinguaggio. Per quanto si riferisce all'altra, non è il giochetto tradizionale che ha consentito dirisolvere il solito problema, l'applicazione automatica di opportune formule, l'impostazione e losvolgimento di un calcolo più o meno semplice che possono chiarire, all'insegnante ed all'allievostesso, fino a qual punto egli abbia approfondito e fatto proprie le questioni; è indispensabile che ilragazzo spieghi con uno scritto il procedimento che ha privilegiato e giustifichi il percorso. Tuttociò contribuirà a realizzare uno degli scopi di ogni insegnamento: ottenere nel discente capacità diragionare e di esprimere il proprio pensiero avendo idee ben chiare. 

Impostare e svolgere una ricerca didattica 
Nel lavoro dell'insegnante è possibile ricavare uno spazio che lo rende vivo, pieno
d'interesse e gratificante e che aiuta a superare certi aspetti sgradevoli, magari anche di natura
burocratica, che del resto sono presenti, in vario tipo, in qualunque attività: è il momento in cui si
sente pronto per impostare e realizzare, da solo o con altri colleghi, una ricerca didattica. 
Si tratta di costruire un'unità almeno parzialmente originale, coerente con la programmazione e,
dopo averla strutturata, realizzarne la sperimentazione in una delle proprie classi e, nel caso, in
classi parallele. Non è un impegno di cui sono capaci soltanto pochi eletti, che richiede doti di
cultura superiori alla media; occorrono entusiasmo, buona volontà, consuetudine di studio e quindi
abitudine a consultare libri, passione. Per impostare il progetto e portarlo a termine in modo 
soddisfacente occorre riflettere su alcuni
punti fondamentali: contenuti, obiettivi, prerequisiti, metodologie, verifiche. 
E' ovvio che fra i contenuti e i destinatari c'è stretta interdipendenza; il docente terrà inoltre conto
della programmazione, entro il cui ambito deve muoversi; né prescinderà dai gusti soggettivi e dalla
propria preparazione che dovrà in ogni caso essere verificata, consolidata ed ampliata con
opportune letture., 
Sarà necessario puntualizzare gli obiettivi. Specifico di ogni ricerca didattica è il tentativo di
individuare iter che conducano ad acquisire competenze (ossia conoscenze e abilità operative)
distaccandosi dalla maniera tradizionale, per renderla più efficiente. Si realizzeranno così obiettivi
informativi cui si accompagneranno quelli formativi, mai però troppo ambiziosi. Occorre anzi
essere disposti a ridimensionare una parte o il tutto se, strada facendo, ciò si rendesse necessario;
non è però consentito rinunciare ad un'opera incominciata, sarebbe estremamente diseducativo.
Procedendo alla stesura del progetto il professore fisserà i prerequisiti di carattere culturale che si
rivelano indispensabili; potrà poi pensare di verificarne il possesso da parte degli allievi
presentando loro delle schede preparate proprio a quello scopo [9]. 
Nel rivolgere la propria attenzione alle metodologie, le progetterà in modo da non disattendere gli
elementi portanti che hanno validità generale e che sono esposti nel "Decalogo" più sopra citato.
Poiché il legame irrinunciabile esistente fra argomenti della ricerca e ambiente comporta che i temi
non possano essere, pur se gradevoli, estranei ai temi ufficiali del corso, la ricerca s'incentra
sull'individuazione di nuove metodologie d'approccio, che propongono percorsi alternativi ai
tradizionali, utilizzano riferimenti storici [5, 6, 7, 8, 11], evidenziano collegamenti fra capitoli
diversi all'interno della matematica [9, l0, 11] e al di fuori di essa, verso altre discipline. Chi
realizza la sperimentazione evita quindi la consueta routine; non accetta alcun procedimento
meccanico, e fa muovere i propri alunni guidandoli alla scoperta in modo graduale, così da far
entrare in gioco le loro doti d'intuizione e di ragionamento. L'una ne sarà potenziata, l'altro
organizzato. 
E' inoltre fondamentale, per la buona riuscita, che gli allievi vengano coinvolti e diano tutta la loro
fattiva collaborazione. Essi, emotivamente implicati e al corrente del traguardo culturale da
raggiungere, esporranno le loro idee, che l'insegnante cercherà in ogni modo di valorizzare,
indirizzandole però opportunamente verso le strategie adatte e correggendo tramite ampie
spiegazioni le proposte non pertinenti o magari errate. 
L'approccio ad un medesimo argomento può avvenire lungo cammini diversi [11]: la sensibilità
didattica, supportata ed integrata, se è il caso, dalle proposte degli allievi, dirà quale sentiero sia più
conveniente scegliere, o magari suggerirà d'imboccarne più di uno.
Il lavoro svolto sarà illustrato per scritto dai ragazzi che, riflettendo sulle problematiche affrontate,
diranno delle strade seguite e dei risultati. Forse non si renderanno conto di quanto sarà loro stata
utile questa ulteriore e insolita fatica: è infatti inconsueta per la prassi scolastica la richiesta di
relazioni di tipo scientifico. 
Esse, lette e discusse in classe, potranno far parte del materiale da utilizzare per la verifica, per la
quale non vi è una via regia; è però certo che, nel valutare quanto ottenuto in rapporto a ciò che si
aspettava, verranno sempre tenute presenti le modalità in cui è stata effettivamente portata avanti la
sperimentazione. In certe situazioni il professore propone esercizi, in altre schede [l0]; ne potrà
trarre votazioni e anche raccolte di dati a scopo statistico. 
Tutto quanto ora detto implica un' attenzione particolare e molta riflessione da parte di chi si senta
attratto dall'idea di svolgere una ricerca didattica; potrà impostarla ex-novo, o basarsi su
suggerimenti formulati da altri e fame una rielaborazione mirata. Potrà eventualmente ripeterla una
o più volte, sempre migliorandola e adattandola. In ogni caso dovrà molto impegnarsi e allora ne
sarà compensato. 

BIBLIOGRAFIA

[1] L. Campedelli "Matematica" ed. La Scuola, Brescia 1965 

[2] M.G.Campedelli "Autoaggiornamento in matematica" in Nuova Secondaria n.6, a.XVI, ed. La

Scuola, Brescia 1998 

[3] F.Enriques "Insegnamento dinamico" in Periodico di matematiche, n.1, s.IV, ed. Zanichelli,

Bologna 1921 - rist. in Archimede, n.1, a.XXXVIII, ed. Le Monnier, Firenze 1986 

[4] Nucleo Ricerche Didattiche di Firenze "Una scheda per l'analisi dei testi di matematica" in

Nuova secondaria n. 7, a. VII, ed. La Scuola, Brescia 1990 

[5] M.G.Campedelli "Numeri e poligoni: una proposta didattica per l'inizio del biennio" in 

Didattica delle Scienze, a XXXI, n.179, ed. La Scuola, Brescia 1995 . 

[6] M.G.Campedelli "Da Pitagora, da Ippocrate, da Archimede: qualche idea per lavorare in classe

su temi di geometria elementare" in Didattica delle Scienze, a.XXXIII, n.189, ed. La Scuola,

Brescia 1997 

[7] M.G.Campedelli "Giovanni Regiomentano, matematico del Rinascimento" in Nuova

Secondaria n.9, a.XVII, ed. La Scuola, Brescia 2000 

[8] M.G.Campedelli "I Fagnano, matematici italiani del XVIII sec." in corso di stampa in Nuova

Secondaria, ed. La Scuola, Brescia

[9] M.G.Campedelli "Proposte per un lavoro in classe: geometria e successioni numeriche" in

Progetto Alice n.3, vol.I, ed. Pagine, Roma 2000 

[lO] Nucleo Ricerche Didattiche di Firenze "L'introduzione dei vettori nell'insegnamento

secondario" in Nuova Secondaria n.6, a.XVIII, ed. La Scuola, Brescia 2001 

[11] M.G.Campedelli "Una ricerca didattica di geometria e altre proposte" in Nuova Secondaria

nn.2,3, a.XVIII, ed. La Scuola, Brescia 2000