Roma, 20 dicembre – Entro gennaio 2012 torneranno a Roma le biciclette a disposizione di cittadini e turisti. Sono state infatti ordinate 200 biciclette che riempiranno le colonnine del bike sharing, oggi inopportunamente utilizzate come parcheggi irregolari. Lo rende noto l'Agenzia per la Mobilità.
L’Amministrazione capitolina ha infatti messo a disposizione le risorse economiche per non prolungare la sospensione del servizio dovuta alla sottrazione di oltre 400 biciclette.
Questo in attesa che si svolga la gara, già bandita e pubblica dal novembre scorso, per lo sviluppo del sistema bike sharing, che prevede un totale di 80 ciclostazioni, comprese le 29 attuali, con oltre 900 biciclette e più di mille colonnine di aggancio. L’aggiudicazione di tale gara è prevista entro la luglio 2012.
L’Amministrazione capitolina ha infatti messo a disposizione le risorse economiche per non prolungare la sospensione del servizio dovuta alla sottrazione di oltre 400 biciclette.
Questo in attesa che si svolga la gara, già bandita e pubblica dal novembre scorso, per lo sviluppo del sistema bike sharing, che prevede un totale di 80 ciclostazioni, comprese le 29 attuali, con oltre 900 biciclette e più di mille colonnine di aggancio. L’aggiudicazione di tale gara è prevista entro la luglio 2012.
orazio converso - aritmetica romana:http://www.syllogismos.it/history/Sottrazione.pdf Dopo questa breve rassegna storica, è opportuno ricapitolare i termini dei due procedimenti per l’esecuzione della sottrazione, spesso riportati parallelamente in manuali e libri di testo; essi sono evidentemente equivalenti: ad esempio, si esamini l’esecuzione in colonna della sottrazione. ..IN COLONNINA
La matematica e la sua didattica 4 (1994), 432-444
I metodi pratici di sottrazione nei manuali di aritmetica
GIORGIO T. BAGNI
Summary. The pratical execution of subtraction is based upon several methods, whose roots
are present in the works of many Authors and in many handbooks, in the History of
Mathematics. In this paper, nine didactic works from 1478 to 1920 are examined, and different methods for pratical subtraction are described and compared.
INTRODUZIONE
L’esecuzione pratica della sottrazione di numeri naturali in colonna si basa su
procedimenti e su accorgimenti didattici la cui elaborazione e diffusione
affonda nella storia della matematica.
In non pochi libri frequentemente adottati per l’insegnamento nelle Scuole
Elementari troviamo esposto il tradizionale metodo della sottrazione con la
cosiddetta presa in prestito; ad esempio, in Matelandia 2 di S. Bonuccelli
Bargellini troviamo eseguita la seguente sottrazione:
3 13
4 3 -
6 =
________
3 7
Nella stessa pagina, altre sottrazioni dello stesso tipo vengono proposte all’attenzione degli allievi, i quali sono invitati alla loro esecuzione; in una nota
a fondo pagina, la regola è richiamata con la usuale denominazione:
“Obiettivo: introdurre l’operazione di sottrazione con prestito” ([2], p. 111).
Questa diffusissima regola (presentata ed ampiamente giustificata anche in
molti manuali di Aritmetica razionale per gli Istituti Magistrali, [4], pp. 108-
110, [8], pp. 189-192) non è però l’unica a trovare spazio nei libri dedicati agli alunni delle Scuole Elementari. In Schede di matematica per la II elementare di
S. Thévenet, A. Garioudl e N. Pitot (a cura di M. Lavelli e G. Spanio), è
proposta e descritta una regola pratica che differisce lievemente, ma
significativamente, dalla precedente; leggiamo in tale libro, a proposito della
sottrazione 95-76:
“Non si può ottenere 5 aggiungendo qualche numero a 6, perciò si prende in
prestito una decina e si ha 15. Che cosa si aggiunge a 6 per avere 15? Si
aggiunge 9. Scrivo 9 sotto la colonna delle unità.
Per la colonna delle decine: tengo conto che ho preso in prestito una decina,
perciò: per avere 9 decine, avendone già 1 riportata, quante ancora ne devo
aggiungere a 7? Ne devo aggiungere ancora 1. Scrivo 1 sotto la colonna delle
decine: 1+7+1 riportata = 9 decine” ([13], p. 96).
La differenza tra le due regole è dunque la seguente: mentre nel primo caso
la decina presa in prestito viene tolta dalla cifra delle decine del minuendo, in
questo secondo caso essa viene aggiunta alla cifra delle decine del sottraendo.
Prima di ipotizzare una valutazione su tali regole pratiche, appare
interessante ed opportuno un sintetico esame delle fonti storiche che
richiamano i procedimenti ora citati.
RIFERIMENTI STORICI
I procedimenti ricordati nel paragrafo precedente sono presenti in molte
pubblicazioni a stampa di soggetto matematico; ne proporremo una breve
rassegna, al fine di illustrare la diffusione dei metodi esaminati nella storia
della disciplina.
Sono stati consultati i seguenti manuali di aritmetica pratica
(risalenti ai secoli XV-XX):
· 1478, (Anonimo) [1]. Ne Larte de labbacho (l’ Aritmetica di Treviso, il
primo libro di matematica stampato al mondo), viene descritto direttamente il
procedimento per la sottrazione con l’incremento della cifra del sottraendo:
“[452-348] .8. de .2. non se puo cavare: ma .2. me compie .10. quel .2.
che te ha compi el to .10. tu die iongere a laltro .2. che sora .8. dicendo .2. e .2.
fa .4. el qual tu die scrivere per resto sotto quel .8. con questa conditione: che a
la figura seguente al .8. zoe al .4. tu die iongere .1.” ([1], le pagine
dell’incunabolo non sono numerate).
· 1738, Clavio [6]. L’Autore descrive innanzitutto il procedimento di
sottrazione con la presa in prestito tra le cifre del minuendo (“che cosa ha da
farsi quando la figura inferiore è maggiore della superiore”, [6], pp. 17-20); quindi enuncia una “più fa cil regola di sottrarre quando la figura inferiore è
maggiore della superiore” ([6], pp. 20 -24):
“Questa regola... è usata da molti Aritmetici, ma noi molto più facilmente
così l’insegneremo. Quando la figura inferiore è maggior della superiore, piglisi
la differenza che è tra essa, e il 10, e a questa differenza s’aggionga la figura
superiore, dalla quale la sottrazzione non si può fare, e tutta la somma si scriva
sotto la linea, perché questa somma avanzerebbe, se quella figura maggiore si
levasse dal numero composto dal 10 e da quella figura superiore, dalla quale
non si può fare la sottrazzione, non altrimente, che se fosse pigliata l’unità in
presto... Doppo questo acciò non siamo sforzati di levare con l’imaginazione
l’unità dalla figura superiore, d alla quale è stata virtualmente l’unità pigliata in
presto, aggiongeremo alla figura inferiore, che prossimamente verso la parte
sinistra segue, una unità, e questa somma dalla figura superiore (senza levar
prima da essa alcuna unità) sottrarremo” ([6], pp.20-21).
· 1760, Pereira [11]. Nella prima parte del Capitolo III, intitolata “Do
Diminuir”
1
([11], pp. 7-11), l’Autore descrive il procedimento di sottrazione
con la presa in prestito tra le cifre del minuendo; nella seconda parte del
Capitolo III, intitolata “Outro modo de Diminuir”
2
([11], pp. 11-12), annota:
“Quando a letra de cima he mayor, ou igual com a debaixo, restamos
huma da outra... Porèm quando a debaixo he mayor que a de cima,
accrescentamos-lhe 10 fem os pedir emprestados, e dizemos: vay 1, que
accrescentamos a outra letra a debaixo, que se segue”
3
([11], p. 11).
· 1767 e 1786, Paulini a San Josepho (P. Chelucci) [10]. Nel Capitolo
1, “Propositio IV. De Subtractione Integrorum” ([10], p. 11 -13), l’Autore
descrive unitamente i due metodi, sottolineandone l’equivalenza:
“Si quis numerus inferior subduci non pote st a superiori, quia illo major
est, intelligatur addita numero ipsi superiori decas, factaque subtractione,
ponatur residuum infra lineam: sed deinde numerus superior, qui sequitur,
unitate minuitur, vel (idem enim est) subsequens numerus inferior augetur
unitate” ([10], p. 11).
__________
(1) “Del Diminuire”.
(2) “Altro modo di Diminuire”.
(3) “Quando la cifra superiore è maggiore o uguale a quella inferiore, procediamo
come nell’altro caso... Quando la cifra inferiore è maggiore della superiore, accr esciamola fino
a 10 e diciamo: riporto 1, unità con la quale aumentiamo l’altra cifra inferiore, collocata a lato
della cifra in esame”.· 1796, Marie [9]. L’Autore, dopo avere dettagliatamente descritto il
procedimento di sottrazione con la presa in prestito tra le cifre del minuendo,
annota:
“La sottrazione si fa anche in un altro modo che useremo nella
divisione. Per sottrarre 2964 da 4571 si dirà: dalla cifra inferiore 4 non può
andarsi alla superiore 1 che è più piccola, ma andando a 11, la differenza è 7
che scrivo, e porto 1 perché sono andato a 11: parimente da 6, +1 (= 7) andando
a 7, la differenza è 0 che scrivo: quindi da 9 non può andarsi a 5, ma andando a
15, la differenza è 6 che scrivo, e porto 1: infine da 2, +1 (= 3) andando a 4, la
differenza è 1 che scrivo; e il resto totale è 1607” ([9], pp. 6-7).
· 1820, Brunacci [5]. Riporta esattamente ([5], p. 9) l’esempio presente
in Marie, utilizzando le stesse parole di commento:
“La sottrazione si fa anche in un altro modo. Per sottrarre 2964 da 4571
si dirà: dalla cifra inferiore 4 non può andarsi alla superiore 1 che è più piccola,
ma andando a 11, la differenza è 7 che scrivo, e porto 1 perché sono andato a
11: parimente da 6, +1 (=7) andando a 7, la differenza è 0 che scrivo: quindi da
9 non può andarsi a 5, m andando a 15, la differenza è 6 che scrivo, e porto 1:
infine da 2, +1 (=3) andando a 4, la differenza è 1 che scrivo; e il resto è 1607”
([5], p. 9).
· 1843, Francoeur [7]. In “Della sottrazione” ([7], pp. 9 -14), l’Autore
introduce direttamente il procedimento per la sottrazione con l’incremento
della cifra del sottraendo:
“In generale, quando la cifra superiore sarà la minore, dovrà essa
aumentarsi di dieci, ritenendo un’unità per aggiungerla alla cifra inferiore che
succede immediatamente a sinistra. Si osserverà infatti che in tal modo il
numero superiore viene aumentato di 10, ma che nel tempo stesso viene
parimente aumentato di 10 il numero inferiore, il che no altera punto la
differenza” ([7], p. 12).
· 1861, Bourdon [3]. L’Autore tratta l’argomento in “Della
sottrazione” ([3], pp. 13 -17); innanzitutto, egli introduce il procedimento di
sottrazione con la presa in prestito tra le cifre del minuendo; in una
“Osservazione”, quindi, afferma:
“È chiaro che invece di diminuire di una unità la cifra dalla quale si è
tolta una unità, si può lasciare questa cifra tal quale si trova, purché si aumenti di una unità la cifra inferiore corrispondente. Questa maniera di operare è
generalmente più comoda in pratica” ([3], p. 16).
· 1920, Pincherle [12]. Si tratta di un libro di testo per le scuole
secondarie inferiori; l’Autore, nel paragrafo 25 ([12], pp. 21 -23), introduce
direttamente il procedimento per la sottrazione con l’incremento della cifra del
sottraendo:
“Regola. Il s ottraendo si scrive sotto il diminuendo, avendo cura di porre le
unità del medesimo ordine in una stessa colonna verticale. L’operazione si
comincia dalla destra. Se si può, si sottrae ogni cifra del sottraendo dalla
corrispondente del diminuendo; se non si può (per essere la cifra del sottraendo
maggiore della corrispondente del diminuendo) si aggiunge 10 alla cifra del
diminuendo ed 1 alla cifra immediatamente a sinistra nel sottraendo” ([12], p.
22).
Il procedimento di sottrazione con la presa in prestito tra le cifre del
minuendo viene descritto solo alla fine del paragrafo:
“Osservazione. Da molti viene anche usato il seguente modo di procedere...
Se si può, si sottrae ogni cifra del sottraendo dalla corrispondente del
diminuendo; se non si può (per essere la cifra del sottraendo maggiore della
corrispondente del diminuendo) si aggiunge 10 alla cifra del diminuendo e si
diminuisce di 1 la prima cifra significativa a sinistra di quella del diminuendo
stesso; essendovi zeri intermedi, si sostituiscono con altrettanti nove” ([12], pp.
22-23).
CONCLUSIONI
Dopo questa breve rassegna storica, è opportuno ricapitolare i termini dei due
procedimenti per l’esecuzione della sottrazione, spesso riportati parallelamente
in manuali e libri di testo; essi sono evidentemente equivalenti: ad esempio, si
esamini l’esecuzione in colonna della sottrazione 43-28:
4 3 -
2 8 =
___
1 5
Con il tradizionale procedimento della presa in prestito tra le cifre del minuendo, al posto della sottrazione 3-8 (impossibile in N) si esegue la
sottrazione 13-8 e quindi si decrementa di 1 la cifra delle decine del minuendo
(lasciando inalterata la cifra delle decine del sottraendo); con il secondo
procedimento esaminato, si esegue ugualmente la sottrazione 13-8 e si
incrementa di 1 la cifra delle decine del sottraendo (lasciando invece inalterata
la cifra delle decine del minuendo). L’equivalenza dei due procedimenti è
garantita dalla proprietà invariantiva della sottrazione ([3], p. 16 e [10], p. 11):
per quanto riguarda la sottrazione delle cifre delle decine, il risultato di (4-1)-2
(ottenuta nel primo caso) viene ad essere evidentemente uguale al risultato di 4
-(2+1) (ottenuta nel secondo caso).
Osserviamo però che dal punto di vista dell’utilità pratica, il procedimento
che non prevede il prestito tra le cifre del minuendo appare talvolta di più
agevole esecuzione. Ad esempio, nelle sottrazioni di numeri espressi in
notazione binaria, la frequente presenza di ripetuti prestiti può risultare pesante
per l’allievo (si vedano ad esempio le operazioni riportate da B. Bottiroli e G.
Pionetti nel manuale Aritmetica razionale per gli Istituti Magistrali, [4], pp.
108-110; il metodo utilizzato per le sottrazioni è quello della presa in prestito
sulle cifre del minuendo).
Illustriamo quanto affermato con un esempio: si voglia eseguire, in colonna,
la sottrazione 110001-10011 (in notazione binaria):
1 1 0 0 0 0 -
1 0 0 0 1 =
_________
1 1 1 1 1
Il procedimento del prestito tra le cifre del minuendo potrebbe comportare sùbito una qualche difficoltà per l’allievo: l’esecuzione di 0 -1 non è possibile e
la necessità di prendere in prestito una decina per eseguire 10-1 appare
tecnicamente piuttosto complicata: il primo 1 presente si trova quattro cifre a
sinistra del nostro 0! I prestiti devono quindi avvenire... ripetutamente, ed essi
devono essere tutti tenuti ben chiari in mente: tutto ciò potrebbe essere causa di
qualche imbarazzo per l’allievo non abilissimo.
Il secondo procedimento sopra presentato può rivelarsi più semplice: per
andare da 1 a 10 (giacché da 1 a 0 non è possibile) si scrive 1 e si aumenta lo 0
(seconda cifra da destra del sottraendo) di 1; si ripete lo stesso ragionamento
altre tre volte ed infine si va da 10 (1+1) a 11 scrivendo 1 come quinta cifra (da
destra) del risultato. Non è necessaria la lunga sequenza mnemonica delle prese
in prestito e l’esecuzione dell’operazione appare dunque meno insidiosa.Concludiamo rilevando che la generale praticità di questo secondo procedimento sembra contrastare con la vasta (e preponderante) diffusione del primo, anche in molti manuali di aritmetica razionale e di aritmetica pratica [4].
A tale proposito, non sarà superfluo notare che, dal punto di vista didattico, il
metodo che prevede la presa in prestito tra le cifre del minuendo può apparire
concettualmente più semplice: la diminuzione della cifra del minuendo (che ha
ceduto un’unità in prestito alla cifra immediatamente prossima) può infatti
risultare più chiaramente ed immediatamente giustificabile, più intuitiva
dell’equivalente in cremento della cifra del sottraendo.
L’Autore desidera ringraziare vivamente il Prof. Piero Plazzi e la Prof.
Cristina Zucchini di Bologna per i preziosi spunti, la collaborazione ed i
suggerimenti.
Note bibliografiche
[1] (Anonimo), Larte de labbacho, senza indicazione dell’editore, Treviso
1478; copia anastatica con commento a cura di G. Romano, Longo e Zoppelli,
Treviso 1969).
[2] S. Bonnucelli Bargellini, Matelandia 2. Matematica e informatica per
la Scuola Elementare. Classe seconda, Signorelli, Milano 1985.
[3] A. Bourdon, Elementi di aritmetica, Bizzoni, Pavia 1861.
[4] B. Bottiroli-G.Pionetti, Aritmetica razionale, Ghisetti e Corvi, Milano
1985.
[5] V. Brunacci, Elementi di algebra e geometria, Imperiale Regia
Stamperia, Milano 1820.
[6] C. Clavio, Aritmetica prattica, Viezzeri, Venezia 1738.
[7] L.B. Francoeur, Corso completo di matematiche pure, Batelli, Napoli
1843.
[8] F. Guadalupi-C. Fregola, Aritmetica razionale, Lucarini, Roma 1984.
[9] A. Marie, Lezioni elementari di matematiche, Allegrini, Firenze 1796.
[10] Paulini a S. Josepho, Institutiones Arithmeticae, Occhi, Venezia 1767
(altra edizione: Severini, Napoli 1786).
[11] A. Pereira, Tratado de arithmetica e algebra, Da Silva, Lisbona 1760.
[12] S. Pincherle, Gli elementi dell’aritmetica, Zanichelli, Bologna 1920.
[13] S. Thévenet-A. Garioudl-N. Pitot (a cura di M. Lavelli-G. Spanio),
Dall’osservazione al calcolo. Schede di matematica per la II elementare,
Editrice Piccoli, Genova 1985 (I ediz.: Bodras, Parigi 1981).
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