domenica 11 dicembre 2011

in colonna per tre (quattro, cinque,..)


Roma, 20 dicembre – Entro gennaio 2012 torneranno a Roma le biciclette a disposizione di cittadini e turisti. Sono state infatti ordinate 200 biciclette che riempiranno le colonnine del bike sharing, oggi inopportunamente utilizzate come parcheggi irregolari. Lo rende noto l'Agenzia per la Mobilità.

L’Amministrazione capitolina ha infatti messo a disposizione le risorse economiche per non prolungare la sospensione del servizio dovuta alla sottrazione di oltre 400 biciclette.

Questo in attesa che si svolga la gara, già bandita e pubblica dal novembre scorso, per lo sviluppo del sistema bike sharing, che prevede un totale di 80 ciclostazioni, comprese le 29 attuali, con oltre 900 biciclette e più di mille colonnine di aggancio. L’aggiudicazione di tale gara è prevista entro la luglio 2012.
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orazio converso  -  aritmetica romana:http://www.syllogismos.it/history/Sottrazione.pdf Dopo questa breve rassegna storica, è opportuno ricapitolare i termini dei due procedimenti per l’esecuzione della sottrazione, spesso riportati parallelamente in manuali e libri di testo; essi sono evidentemente equivalenti: ad esempio, si esamini l’esecuzione in colonna della sottrazione. ..IN COLONNINA

La matematica e la sua didattica 4 (1994), 432-444
I metodi pratici di sottrazione nei manuali di aritmetica
GIORGIO T. BAGNI


Summary. The pratical  execution of subtraction is based upon several methods, whose roots 
are  present  in  the  works  of  many  Authors  and  in  many handbooks,  in  the  History  of 
Mathematics. In this paper, nine didactic works from 1478 to 1920 are examined, and different methods for pratical subtraction are described and compared.


INTRODUZIONE
L’esecuzione pratica della sottrazione di numeri naturali in colonna si basa su 
procedimenti  e  su  accorgimenti  didattici la  cui  elaborazione  e  diffusione 
affonda nella storia della matematica.
In non pochi libri frequentemente adottati per l’insegnamento nelle Scuole 
Elementari  troviamo  esposto  il  tradizionale  metodo della  sottrazione con  la 
cosiddetta  presa  in prestito;  ad  esempio,  in  Matelandia 2 di  S.  Bonuccelli 
Bargellini troviamo eseguita la seguente sottrazione:
3     13
 4 3 -
 6 =
________
3 7
Nella  stessa  pagina,  altre  sottrazioni  dello  stesso  tipo vengono proposte 
all’attenzione degli allievi, i quali sono invitati alla loro esecuzione; in una nota 
a fondo pagina, la regola è richiamata con la usuale denominazione:
“Obiettivo: introdurre l’operazione di sottrazione con prestito” ([2], p. 111). 
Questa diffusissima regola (presentata  ed  ampiamente giustificata anche in 
molti manuali di Aritmetica razionale per gli Istituti Magistrali, [4], pp. 108-
110, [8], pp. 189-192) non è però l’unica a trovare spazio nei libri dedicati agli alunni delle Scuole Elementari. In Schede di matematica per la II elementare di 
S.  Thévenet,  A.  Garioudl  e  N.  Pitot  (a cura  di  M.  Lavelli  e  G.  Spanio),  è 
proposta e descritta  una  regola  pratica che  differisce  lievemente,  ma 
significativamente,  dalla  precedente; leggiamo in tale libro,  a  proposito della 
sottrazione 95-76:
“Non si può ottenere 5 aggiungendo qualche numero a 6, perciò si prende in 
prestito una  decina e si  ha  15.  Che cosa  si aggiunge  a  6 per  avere  15?  Si 
aggiunge 9. Scrivo 9 sotto la colonna delle unità.
Per la colonna delle decine: tengo conto che ho preso in prestito una decina, 
perciò:  per  avere  9 decine,  avendone  già  1 riportata,  quante ancora  ne  devo 
aggiungere a 7? Ne devo aggiungere ancora 1. Scrivo 1 sotto la colonna delle 
decine: 1+7+1 riportata = 9 decine” ([13], p. 96).
La differenza tra le due regole è dunque la seguente: mentre nel primo caso 
la decina presa in prestito viene tolta dalla cifra delle decine del minuendo, in 
questo secondo caso essa viene aggiunta alla cifra delle decine del sottraendo.
Prima  di ipotizzare  una  valutazione  su  tali  regole  pratiche,  appare 
interessante  ed opportuno un sintetico  esame  delle  fonti  storiche  che 
richiamano i procedimenti ora citati.


RIFERIMENTI STORICI
I  procedimenti  ricordati  nel  paragrafo precedente  sono presenti in  molte 
pubblicazioni  a  stampa  di  soggetto  matematico;  ne  proporremo una  breve 
rassegna,  al  fine  di  illustrare  la  diffusione  dei  metodi  esaminati  nella storia
della  disciplina.  


Sono stati  consultati i seguenti manuali  di  aritmetica  pratica 
(risalenti ai secoli XV-XX):


· 1478, (Anonimo) [1]. Ne Larte de labbacho (l’ Aritmetica di Treviso, il 
primo libro di matematica stampato al mondo), viene descritto direttamente il 
procedimento per la sottrazione con l’incremento della cifra del sottraendo:
“[452-348] .8. de .2. non se puo cavare: ma .2. me compie .10. quel .2. 
che te ha compi el to .10. tu die iongere a laltro .2. che sora .8. dicendo .2. e .2. 
fa .4. el qual tu die scrivere per resto sotto quel .8. con questa conditione: che a
la  figura  seguente al  .8.  zoe  al  .4.  tu die  iongere  .1.”  ([1],  le  pagine 
dell’incunabolo non sono numerate).


· 1738,  Clavio [6].  L’Autore  descrive  innanzitutto  il  procedimento di 
sottrazione con la presa in prestito tra le cifre del minuendo (“che cosa ha da 
farsi  quando  la figura  inferiore è maggiore  della superiore”, [6],  pp.  17-20); quindi  enuncia  una “più fa cil regola  di sottrarre  quando  la figura  inferiore è
maggiore della superiore” ([6], pp. 20 -24):
“Questa regola...  è usata da molti Aritmetici, ma noi molto più facilmente 
così l’insegneremo. Quando la figura inferiore è maggior della superiore, piglisi 
la differenza che è tra essa, e il 10, e a questa differenza s’aggionga la figura 
superiore, dalla quale la sottrazzione non si può fare, e tutta la somma si scriva 
sotto la linea, perché questa somma avanzerebbe, se quella figura maggiore si 
levasse dal numero  composto dal 10  e da quella figura superiore, dalla quale 
non si può fare la sottrazzione, non altrimente, che se fosse pigliata l’unità in 
presto... Doppo questo  acciò non siamo sforzati di levare con l’imaginazione 
l’unità dalla figura superiore, d alla quale è stata virtualmente l’unità pigliata in 
presto,  aggiongeremo  alla  figura  inferiore,  che  prossimamente  verso  la  parte 
sinistra segue,  una  unità,  e  questa somma  dalla figura superiore (senza  levar 
prima da essa alcuna unità) sottrarremo” ([6], pp.20-21).


· 1760, Pereira [11]. Nella  prima parte  del Capitolo III, intitolata “Do 
Diminuir”
1
([11],  pp.  7-11), l’Autore  descrive il  procedimento di sottrazione 
con  la  presa  in prestito  tra  le  cifre  del  minuendo;  nella  seconda  parte  del 
Capitolo III, intitolata “Outro modo de Diminuir”
2
([11], pp. 11-12), annota:
“Quando a letra de cima he mayor, ou igual com a debaixo, restamos 
huma  da  outra...  Porèm  quando  a  debaixo he  mayor  que a de cima, 
accrescentamos-lhe  10  fem  os  pedir  emprestados,  e  dizemos:  vay  1,  que 
accrescentamos a outra letra a debaixo, que se segue”
3
([11], p. 11).
· 1767 e 1786, Paulini a San Josepho (P. Chelucci) [10]. Nel Capitolo 
1,  “Propositio  IV.  De  Subtractione  Integrorum”  ([10],  p.  11 -13),  l’Autore 
descrive unitamente i due metodi, sottolineandone l’equivalenza: 
“Si quis numerus inferior subduci non pote st a superiori, quia illo major 
est,  intelligatur  addita  numero  ipsi  superiori  decas,  factaque  subtractione, 
ponatur residuum  infra  lineam:  sed deinde  numerus  superior,  qui  sequitur, 
unitate  minuitur,  vel  (idem  enim  est)  subsequens  numerus  inferior  augetur
unitate” ([10], p. 11).
__________
(1) “Del Diminuire”.
(2) “Altro modo di Diminuire”.
(3)  “Quando  la  cifra superiore  è  maggiore  o  uguale  a  quella  inferiore,  procediamo 
come nell’altro caso... Quando la cifra inferiore è maggiore della superiore, accr esciamola fino 
a 10 e diciamo: riporto 1, unità con la quale aumentiamo l’altra cifra inferiore, collocata a lato 
della cifra in esame”.· 1796, Marie [9]. L’Autore,  dopo  avere  dettagliatamente  descritto il 
procedimento di sottrazione con la presa in prestito tra le cifre del minuendo, 
annota:
“La  sottrazione  si  fa  anche  in un altro  modo  che  useremo nella 
divisione.  Per sottrarre  2964 da  4571 si  dirà:  dalla cifra  inferiore  4 non può
andarsi alla superiore 1 che è più piccola, ma andando a 11, la differenza è 7 
che scrivo, e porto 1 perché sono andato a 11: parimente da 6, +1 (= 7) andando 
a 7, la differenza è 0 che scrivo: quindi da 9 non può andarsi a 5, ma andando a 
15, la differenza è 6 che scrivo, e porto 1: infine da 2, +1 (= 3) andando a 4, la 
differenza è 1 che scrivo; e il resto totale è 1607” ([9], pp. 6-7).


· 1820, Brunacci [5]. Riporta esattamente ([5], p. 9) l’esempio presente 
in Marie, utilizzando le stesse parole di commento:
“La sottrazione si fa anche in un altro modo. Per sottrarre 2964 da 4571 
si dirà: dalla cifra inferiore 4 non può andarsi alla superiore 1 che è più piccola, 
ma andando a 11, la differenza è 7 che scrivo, e porto 1 perché sono andato a 
11: parimente da 6, +1 (=7) andando a 7, la differenza è 0 che scrivo: quindi da 
9 non può andarsi a 5, m andando a 15, la differenza è 6 che scrivo, e porto 1: 
infine da 2, +1 (=3) andando a 4, la differenza è 1 che scrivo; e il resto è 1607” 
([5], p. 9).


· 1843, Francoeur [7]. In  “Della sottrazione” ([7],  pp.  9 -14), l’Autore 
introduce  direttamente  il  procedimento per  la  sottrazione  con  l’incremento 
della cifra del sottraendo:
“In  generale,  quando  la cifra  superiore  sarà  la  minore,  dovrà essa 
aumentarsi di dieci, ritenendo un’unità per aggiungerla alla cifra inferiore che 
succede  immediatamente a  sinistra.  Si  osserverà  infatti  che  in  tal  modo  il 
numero  superiore  viene aumentato di  10,  ma che  nel tempo  stesso viene 
parimente aumentato di  10  il  numero  inferiore,  il  che  no  altera  punto  la 
differenza” ([7], p. 12).


· 1861,  Bourdon [3].  L’Autore  tratta  l’argomento  in  “Della 
sottrazione”  ([3],  pp.  13 -17); innanzitutto,  egli  introduce  il  procedimento di 
sottrazione  con  la  presa in prestito tra  le cifre  del  minuendo;  in una 
“Osservazione”, quindi, afferma:
“È chiaro che invece di diminuire di una unità la cifra dalla quale si è 
tolta una unità, si può lasciare questa cifra tal quale si trova, purché si aumenti di  una  unità  la  cifra  inferiore  corrispondente.  Questa  maniera  di  operare  è 
generalmente più comoda in pratica” ([3], p. 16).


· 1920, Pincherle [12].  Si tratta  di  un  libro di testo per  le  scuole 
secondarie  inferiori;  l’Autore,  nel  paragrafo 25  ([12],  pp.  21 -23),  introduce 
direttamente il procedimento per la sottrazione con l’incremento della cifra del 
sottraendo:
“Regola. Il s ottraendo si scrive sotto il diminuendo, avendo cura di porre le 
unità  del medesimo ordine  in una  stessa  colonna  verticale.  L’operazione  si 
comincia  dalla  destra.  Se  si  può,  si  sottrae  ogni  cifra  del  sottraendo dalla 
corrispondente del diminuendo; se non si può (per essere la cifra del sottraendo 
maggiore  della corrispondente  del  diminuendo) si  aggiunge  10  alla cifra  del 
diminuendo ed 1 alla cifra immediatamente a sinistra nel sottraendo” ([12], p. 
22).
Il  procedimento di  sottrazione  con  la  presa  in prestito tra  le cifre  del 
minuendo viene descritto solo alla fine del paragrafo:
“Osservazione. Da molti viene anche usato il seguente modo di procedere... 
Se  si  può,  si  sottrae  ogni  cifra  del  sottraendo dalla  corrispondente  del 
diminuendo; se  non si  può (per  essere  la cifra  del sottraendo maggiore  della 
corrispondente del diminuendo) si  aggiunge 10  alla  cifra del diminuendo  e si 
diminuisce di 1 la prima cifra significativa a sinistra di quella del diminuendo 
stesso; essendovi zeri intermedi, si sostituiscono con altrettanti nove” ([12], pp. 
22-23).


CONCLUSIONI
Dopo questa breve rassegna storica, è opportuno ricapitolare i termini dei due 
procedimenti per l’esecuzione della sottrazione, spesso riportati parallelamente 
in manuali e libri di testo; essi sono evidentemente equivalenti: ad esempio, si 
esamini l’esecuzione  in colonna della sottrazione 43-28: 
4 3 -
2 8 =
___
1 5
Con  il  tradizionale  procedimento della  presa  in prestito  tra  le cifre  del 
minuendo,  al  posto della  sottrazione  3-8  (impossibile  in  N)  si  esegue  la 
sottrazione 13-8 e quindi si decrementa di 1 la cifra delle decine del minuendo
(lasciando  inalterata  la cifra  delle  decine  del  sottraendo);  con  il  secondo 
procedimento  esaminato,  si  esegue  ugualmente  la  sottrazione  13-8  e si 
incrementa di 1 la cifra delle decine del sottraendo (lasciando invece inalterata 
la  cifra  delle  decine  del minuendo).  L’equivalenza  dei  due  procedimenti  è 
garantita dalla proprietà invariantiva della sottrazione ([3], p. 16 e [10], p. 11): 
per quanto riguarda la sottrazione delle cifre delle decine, il risultato di (4-1)-2 
(ottenuta nel primo caso) viene ad essere evidentemente uguale al risultato di 4
-(2+1) (ottenuta nel secondo caso).


Osserviamo però che dal punto di vista dell’utilità pratica, il procedimento 
che  non prevede  il  prestito tra  le  cifre  del  minuendo  appare  talvolta  di  più 
agevole esecuzione.  Ad  esempio,  nelle  sottrazioni  di  numeri  espressi  in 
notazione binaria, la frequente presenza di ripetuti prestiti può risultare pesante 
per l’allievo (si vedano ad  esempio le operazioni riportate da B. Bottiroli e G. 
Pionetti  nel manuale  Aritmetica razionale per  gli  Istituti Magistrali,  [4],  pp. 
108-110; il metodo utilizzato per le sottrazioni è quello della presa in prestito 
sulle cifre del minuendo).


Illustriamo quanto affermato con un esempio: si voglia eseguire, in colonna, 
la sottrazione 110001-10011 (in notazione binaria):


1 1 0 0 0 0 -
 1 0 0 0 1 =
_________
 1 1 1 1 1

Il procedimento del prestito tra le cifre del minuendo potrebbe comportare 
sùbito una qualche difficoltà per l’allievo: l’esecuzione di 0 -1 non è possibile e 
la  necessità  di  prendere  in  prestito una  decina  per  eseguire  10-1  appare 
tecnicamente piuttosto complicata: il primo 1 presente si trova quattro cifre a 
sinistra del nostro 0! I prestiti devono quindi avvenire... ripetutamente, ed essi 
devono essere tutti tenuti ben chiari in mente: tutto ciò potrebbe essere causa di 
qualche imbarazzo per l’allievo non abilissimo.


Il  secondo procedimento sopra  presentato può rivelarsi  più semplice:  per 
andare da 1 a 10 (giacché da 1 a 0 non è possibile) si scrive 1 e si aumenta lo 0
(seconda  cifra da destra del sottraendo) di 1; si ripete lo stesso ragionamento 
altre tre volte ed infine si va da 10 (1+1) a 11 scrivendo 1 come quinta cifra (da 
destra) del risultato. Non è necessaria la lunga sequenza mnemonica delle prese 
in prestito e l’esecuzione dell’operazione appare dunque meno insidiosa.Concludiamo  rilevando  che  la  generale  praticità  di  questo  secondo procedimento sembra contrastare con la vasta (e preponderante) diffusione del primo, anche in molti manuali di aritmetica razionale e di aritmetica pratica [4]. 


A tale proposito, non sarà superfluo notare che, dal punto di vista didattico, il 
metodo che prevede la presa in prestito tra le cifre del minuendo può apparire 
concettualmente più semplice: la diminuzione della cifra del minuendo (che ha 
ceduto un’unità  in prestito  alla cifra  immediatamente  prossima)  può  infatti 
risultare  più  chiaramente ed  immediatamente  giustificabile,  più  intuitiva 
dell’equivalente in cremento della cifra del sottraendo.


L’Autore  desidera  ringraziare  vivamente  il  Prof.  Piero  Plazzi  e  la Prof. 
Cristina  Zucchini  di  Bologna per  i  preziosi  spunti,  la  collaborazione ed  i 
suggerimenti.




Note bibliografiche


[1] (Anonimo), Larte de labbacho, senza indicazione dell’editore, Treviso 
1478; copia anastatica con commento a cura di G. Romano, Longo e Zoppelli, 
Treviso 1969).
[2] S. Bonnucelli Bargellini, Matelandia 2. Matematica e informatica per 
la Scuola Elementare. Classe seconda, Signorelli, Milano 1985.
[3] A. Bourdon, Elementi di aritmetica, Bizzoni, Pavia 1861.
[4] B. Bottiroli-G.Pionetti, Aritmetica razionale, Ghisetti e Corvi, Milano 
1985.
[5]  V.  Brunacci,  Elementi  di  algebra  e  geometria,  Imperiale  Regia 
Stamperia, Milano 1820. 
[6] C. Clavio, Aritmetica prattica, Viezzeri, Venezia 1738.
[7] L.B. Francoeur, Corso  completo di matematiche pure, Batelli, Napoli 
1843.
[8] F. Guadalupi-C. Fregola, Aritmetica razionale, Lucarini, Roma 1984.
[9] A. Marie, Lezioni elementari di matematiche, Allegrini, Firenze 1796.
[10] Paulini a S. Josepho, Institutiones Arithmeticae, Occhi, Venezia 1767 
(altra edizione: Severini, Napoli 1786).
[11] A. Pereira, Tratado de arithmetica e algebra, Da Silva, Lisbona 1760.
[12] S. Pincherle, Gli elementi dell’aritmetica, Zanichelli, Bologna 1920.
[13] S. Thévenet-A. Garioudl-N. Pitot (a cura di M. Lavelli-G. Spanio), 
Dall’osservazione  al  calcolo.  Schede  di  matematica per  la  II  elementare, 
Editrice Piccoli, Genova 1985 (I ediz.: Bodras, Parigi 1981). 

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