I maestri ben sanno

2.2 Gli insiemi in matematica Tutta la matematica si può costruire a partire dagli insiemi. E' proprio vero? Per rispondere, cominciamo col riflettere che il punto di partenza di ogni insegnamento della matematica non può essere che l’intuizione. (Ci sarebbe tanto da dire sull’intuizione; purtroppo ci manca il tempo per farlo). Ora l’intuizione ci fornisce due diversi tipi di enti interessanti per la matematica: gli enti discreti (cioé,granulari, come gli insiemi di cui abbiamo parlato prima) e gli enti continui. Un tipico esempio di ente continuo é la retta; anche l’acqua contenuta in un recipiente ci si presenta come un’entità continua, che si può suddividere indefinitamente (sappiamo che l’acqua é costituita da molecole, cioé ha anch’essa una struttura granulare, ma ciò sfugge completamente alla nostra intuizione). Anche il tempo viene da noi intuito come un’entità continua: diciamo che il tempo diciamo che il tempo scorre» (come, appunto, se fosse un fluido) e lo rappresentiamo su una retta... La teoria degli insiemi (fondata da Giorgio Cantor attorno al 1870) permette di presentare tutti gli enti maternatici come insiemi, ma, per descrivere gli enti continui, ha bisogno di insiemi infiniti (anzi, come vedremo, spaventosamente» infiniti!). L’argomento è così importante da meritare una breve digressione.