"Guardo, osservo e poi passo dal concreto all'astratto, cioè matematizzo il fenomeno osservato", con queste parole Castelnuovo spiega il significato e il ruolo della matematica nel processo di osservazione e di comprensione del mondo. Nelle lezioni presentate in questo libro ci sono diverse attività-problemi che partono dall'osservazione concreta di semplici fatti ottenuti utilizzando i cosiddetti materiali poveri (pezzi di spago, blocchetti di argilla, sbarrette, elastici, ecc.). Rettangoli formati con lo stesso pezzo di spago hanno lo stesso perimetro, la misura della loro area genera una curva, la parabola, che è la stessa curva che descrive una palla da gioco; triangoli formati con lo stesso pezzo di spago formano invece un'ellisse che è la stessa figura che calpestiamo quando camminando per strada mettiamo il piede sull'ombra di un segnale stradale circolare.
Il ruolo del 'materiale' nella scoperta matematica è uno dei temi cari alla ricerca di Castelnuovo: mettere le mani in pasta, sui materiali per andare verso l'astrazione. L'autrice dà un percorso storico a questo modo di procedere (dalla duplicazione del cubo di Menecmo al metodo meccanico di Archimede, a Galileo) per giustificarne l'efficacia come metodo didattico; un metodo che qualche decennio fa appariva non solo povero didatticamente ma anche fuorviante rispetto all'astrattezza dei fondamenti logici e puri della matematica. L'anziana ricercatrice testimonia, con la sua lunghissima attività, che partendo da materiale semplicissimo si possono costruire tutti i capitoli della matematica. Tra i problemi semplici, quelli di massimo e minimo permettono di attraversare tanti livelli di astrattezza della matematica. In una delle lezioni pubblicate in questo libro, ne presenta due che si possono affrontare con ragazzi della secondaria di primo grado: con un filo di ferro si costruiscono dei poligoni, quale di essi ha l'area massima? Con una certa quantità di argilla si possono formare dei solidi (cubo, cilindro, piramide) tutti dello stesso volume, quale di questi ha la superficie minima?
Per quanto attiene più da vicino l'aritmetica, Castelnuovo si sofferma sui problemi di proporzionalità, che nascono nella notte dei tempi, dal famoso Papiro di Rhind, passando per Talete, Archimede, Brahmagupta, e che fino a oggi sono sempre stati incontrati dall'uomo, soprattutto nelle situazioni di lavoro e in generale nell'economia. Sulla proporzionalità inversa, presenta un'esperienza fisica legata alla capillarità, nella quale si utilizzano due vetri uniti da un lato con delle mollette e dall'altro separati da stuzzicadenti; i vetri vengono messi a contatto con dell'acqua colorata posta in una bacinella; l'acqua risale lungo i vetri per capillarità formando un'iperbole. Questa semplice esperienza fa vedere il profondo legame non solo tra l'aritmetica (proporzionalità inversa) e la geometria (iperbole) ma anche tra la matematica, la fisica, la botanica e le scienze in generale.
La geometria, osserva Castelnuovo, ha subìto negli ultimi anni una caduta di interesse da parte sia degli studenti, sia degli insegnanti, i quali senza particolari direttive da parte di nessuno si sono tacitamente uniti in questo rifiuto, molto spesso per pigrizia di entrambi: difficoltà nell'apprendere e difficoltà nell'insegnare. Occorre evidentemente recuperare questo interesse, perché la geometria ha un ruolo formativo indispensabile. Lo studio attraverso i materiali e l'osservazione del movimento potrebbero, a suo avviso, portare l'apprendimento di questa disciplina su un piano più pratico e osservativo, facilitandone il ritorno nella scuola.
Nella seconda parte del libro sono pubblicate quattro attività laboratoriali dell'Officina matematica: 1. Spago ed elastico; 2. Dal problema dell'ubriaco alla teoria dell'evoluzione di Darwin; 3. Una matematica ...a tutto tondo; 4. Angoli e ombre. Conclude il libro una conversazione tra Franco Lorenzoni ed Emma Castelnuovo.
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